Question

5．求函數(shù)的值域y=$\frac{x-1}{{x}^{2}+x+1}$．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)變成yx²++（y-1）x+y+1=0，將該式看成關(guān)于x的方程，并且方程有解，從而可討論y=0和y≠0：y=0時，容易得出滿足方程有解；而y≠0，該方程為關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有△≥0，通過解不等式即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：由原函數(shù)得：yx²+yx+y=x-1；
整理成：yx²+（y-1）x+y+1=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
∴①若y=0，則x=1，滿足方程有解；
②若y≠0，則：
△=（y-1）²-4y（y+1）≥0；
解得$-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤y≤-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴原函數(shù)的值域為：$[-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}，-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，一元二次方程有解時判別式△的取值情況，解一元二次不等式，注意不要忘了討論y=0的情況．