1.已知α,β為銳角,$sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{10},sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,則cos2β=$\frac{4}{5}$,α+2β=$\frac{π}{4}$.

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα,cosβ的值,利用二倍角公式可求cos2β,sin2β的值,利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求sin(α+2β)的值,結(jié)合α+2β的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

解答 解:∵α,β為銳角,$sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{10},sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,可得:cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$,cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,
∴cos2β=1-2sin2β=1-2×($\frac{\sqrt{10}}{10}$)2=$\frac{4}{5}$,sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3}{5}$,
∵cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵α+2β∈(0,$\frac{3π}{2}$),
∴α+2β=$\frac{π}{4}$.
故答案為:$\frac{4}{5}$,$\frac{π}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角公式,兩角和的余弦函數(shù)公式,余弦函數(shù)的性質(zhì)在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.已知數(shù)列{an},則“{an}為等比數(shù)列”是“an2=an-1•an+1”的( 。
A.充分必要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-4+t\\ y=t\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρsinθ-2=0,直線l與圓C相交于點(diǎn)A、B.
(1)將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求線段AB的長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=27,則a4+a6=6.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<$\frac{π}{2}$)在區(qū)間($\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$)上是單調(diào)減函數(shù),且函數(shù)值從1減小到-1,則f($\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.如圖四個(gè)游戲盤(各正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑都是單位1),如果撒一粒黃豆落在陰影部分,則可中獎(jiǎng),小明希望中獎(jiǎng),則應(yīng)選擇的游戲盤是( 。
A.B.C.D.

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13.已知向量$\overrightarrow a=(cosα,sinα),\overrightarrow b=(cosx,sinx)$,$\overrightarrow c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα)$,其中0<α<x<π
(1)若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$,且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$,求tan2α的值;
(2)若$α=\frac{π}{4}$,求函數(shù)$f(x)=\overrightarrow b•\overrightarrow c$的最小值及相應(yīng)的x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1、x2(x1≠x2),均有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}<0$,則( 。
A.$f({0.7^6})<f({log_{0.7}}6)<f({6^{0.5}})$B.f(60.5)<f(0.76)<f(log0.76)
C.$f({log_{0.7}}6)<f({0.7^6})<f({6^{0.5}})$D.$f({log_{0.7}}6)<f({6^{0.5}})<f({0.7^6})$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.設(shè)點(diǎn)P(x,y),x,y∈N且x+y≤4,則點(diǎn)P(x,y)的個(gè)數(shù)為( 。
A.12個(gè)B.13個(gè)C.14個(gè)D.15個(gè)

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