Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ+m（m為常數(shù)，n∈N+）
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求常數(shù)m的值及a_n；
（3）對于（2）中的a_n，記f（n）=λa_2n+1-4λa_n+1-7，若f（n）＜0對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a₁，a₂，a₃．
（2）由a₁=a+2，當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$，{a_n}為等比數(shù)列，求出a₁=1，由此能求出常數(shù)m的值及a_n．
（3）由${a_n}={2^{n-1}}$，得f（n）=λ•2²ⁿ-4λ•2ⁿ-7，令t=2ⁿ，則t≥2，f（n）=λ•t²-4λ•t-7=λ（t-2）²-4λ-7，設(shè)g（t）=λ（t-2）²-4λ-7，由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 （本小題10分）
解：（1）a₁=S₁=2+m，…（1分）
由S₂=a₁+a₂，得a₂=2，…（2分）
由S₃=a₁+a₂+a₃，得a₃=4；  …（3分）
（2）∵a₁=a+2，當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$，
又{a_n}為等比數(shù)列，∴a₁=1，
即m+2=1，得m=-1，…（5分）
故${a_n}={2^{n-1}}$． …（6分）
（3）∵${a_n}={2^{n-1}}$，∴f（n）=λ•2²ⁿ-4λ•2ⁿ-7，…（7分）
令t=2ⁿ，則t≥2，f（n）=λ•t²-4λ•t-7=λ（t-2）²-4λ-7，
設(shè)g（t）=λ（t-2）²-4λ-7，
當(dāng)λ=0時(shí)，f（n）=-7＜0恒成立，…（8分）
當(dāng)λ＞0時(shí)，g（t）=λ（t-2）²-4λ-7對應(yīng)的點(diǎn)在開口向上的拋物線上，
∴f（n）＜0不可能恒成立，…（9分）
當(dāng)λ＜0時(shí)，g（t）=λ（t-2）²-4λ-7在t≥2時(shí)有最大值-4λ-7，
∴要使f（n）＜0對任意的正整數(shù)n恒成立，
只需-4λ-7＜0，即$λ＞-\frac{7}{4}$，此時(shí)$-\frac{7}{4}＜λ＜0$，
綜上實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$-\frac{7}{4}＜λ≤0$．　  …（10分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前3項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．