Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）與x軸一定存在交點；
②當(dāng)a²-3b＞0時，函數(shù)f（x）既有極大值也有極小值；
③若x₀是f（x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）單調(diào)遞減；
④若f′（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點．
其中確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷①③，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的根的情況判斷②，特殊值法判斷④．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，△=4（a²-3b），
若△≤0，則f（x）單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，若△＞0，f（x）可能遞減、遞增、遞減，或遞增、遞減、遞增；
①函數(shù)f（x）與x軸一定存在交點；①正確；
②當(dāng)a²-3b＞0時，即△＞0，函數(shù)f（x）既有極大值也有極小值；②正確；
③若x₀是f（x）的極小值點，可能f（x）遞減、遞增、遞減，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）不一定單調(diào)遞減；③錯誤；
④若f′（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點；④錯誤，比如a=b=c=0時，f（x）=x³，f（0）=0，卻不是極值點；
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．