Question

13．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD=2，AB=3．
（1）求SA與BC所成角的余弦值；
（2）求證：AB⊥SD．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得∠SAD是SA與BC所成角，由此利用余弦定理能求出SA與BC所成角的余弦值．
（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)SO，推導(dǎo)出SO⊥AD，從而SO⊥平面ABCD，進(jìn)而AB⊥SO，由AB⊥AD，得AB⊥平面SAD，由此能證明AB⊥SD．

解答 解：（1）∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠SAD是SA與BC所成角，
∵SA=SD=2，AB=3，∴AD=3，
∴cos∠SAD=$\frac{S{A}^{2}+A{D}^{2}-S{D}^{2}}{2SA•AD}$=$\frac{4+9-4}{2×2×3}$=$\frac{3}{4}$．
∴SA與BC所成角的余弦值為$\frac{3}{4}$．
證明：（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)SO，
∵SA=SD=2，∴SO⊥AD，
∵平面SAD⊥平面ABCD，∴SO⊥平面ABCD，
∴AB⊥SO，∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，
∵AD∩SO=O，∴AB⊥平面SAD，
∵SD?平面SAD，∴AB⊥SD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．