Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足下列條件，求{a_n}的通項(xiàng)公式：
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1；
（2）a₁=1，a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）；
（3）S_n=3ⁿ-n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n+1=a_n+2n+1可知a_n+1-a_n=2n+1，累加計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）可知a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），并項(xiàng)相加即得結(jié)論；
（3）通過(guò)S_n=3ⁿ-n與S_n+1=3ⁿ⁺¹-（n+1）作差、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴a_n-a_n-1=2（n-1）+1，
a_n-1-a_n-2=2（n-2）+1，
…
a₂-a₁=2•1+1，
疊加得：a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]+（n-1）
=2•$\frac{n（n-1）}{2}$+（n-1）
=n²-1，
又∵a₁=1，
∴a_n=n²；
（2）∵a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
a_n-1-a_n-2=3^n-2，
…
a₂-a₁=3¹，
累加得：a_n-a₁=3¹+3²+…+3^n-2+3^n-1
=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$
=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-$\frac{3}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$；
（3）∵S_n=3ⁿ-n，
∴S_n+1=3ⁿ⁺¹-（n+1），
兩式相減得：a_n+1=2•3ⁿ-1，
又∵a₁=3-1=2不滿足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．