Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-x，把函數(shù)g（x）的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)的前n項和為（　�。�

• A． S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$
• B． S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$
• C． S_n=2ⁿ-1
• D． S_n=2^n-1-1

Answer 1

分析 根據(jù)解析式函數(shù)f（x）得出歸納推理得出f（n）=n，n∈N，得出g（x）的零點為：0，1，2，3，4…n-1，運用等差數(shù)列的知識求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，
∴f（0）=0，f（1）=f（0）+1=1，f（2）=f（1）+1=2，
f（3）=f（2）+1=3，
歸納推理得出f（n）=n，n∈N
∵g（x）=f（x）-x，
∴g（x）的零點為：0，1，2，3，4…n-1，
∵函數(shù)g（x）的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，
∴該數(shù)的前n項和為：$\frac{n（0+n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$
故選：A

點評 本題考查了函數(shù)的性質，零點的問題，融合了數(shù)列的知識，綜合性較強，難度較大，屬于中檔題．