Question

13．已知點A（3，4，4），B（-2，-1，5），C（4，5，0），若點D在線段AC上，且△ABD的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{3}$，求線段BD的長．

Answer 1

分析 設D（a，b，c），由已知得$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，從而求出D（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{3}$，$\frac{8}{3}$），由此能求出線段BD的長．

解答 解：設D（a，b，c），
∵點A（3，4，4），B（-2，-1，5），C（4，5，0），
點D在線段AC上，且△ABD的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，即（a-3，b-4，c-4）=$\frac{1}{3}$（1，1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3=\frac{1}{3}}\\{b-4=\frac{1}{3}}\\{c-4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{10}{3}}\\{b=\frac{13}{3}}\\{c=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，∴D（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{16}{3}$，$\frac{16}{3}$，-$\frac{7}{3}$），
∴線段BD的長|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}+（-\frac{7}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{305}}{3}$．

點評 本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間向量的合理運用．