Question

2．求$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$的最小值．

Answer 1

分析 將原函數(shù)式變形，可得y可看成平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)A（-1，2）的距離與點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)B（4，2）的距離的和，所以作（4，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，則AB′的長(zhǎng)度便是y的最小值，所以求AB′的長(zhǎng)度即可．

解答 解：y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{{{（x+1）}^{2}+（0-2）}^{2}}$+$\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（0-2）}^{2}}$；
∴y表示平面直角坐標(biāo)系中：點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)A（-1，2）的距離與點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)B（4，2）的距離的和；
如圖：
，
作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（4，-2），連接AB′，
則AB′的長(zhǎng)度即是y的最小值；
由圖象得|AB′|=$\sqrt{41}$；
∴原函數(shù)y的最小值是$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 考查平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，轉(zhuǎn)化的方法：將求函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化成求距離和的最小值，數(shù)形結(jié)合的解題方法．