Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁和公差d（d≠0）均為整數(shù)，其前n項和為S_n．
（Ⅰ）若a₁=1，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若對任意n∈N^*，且n≠6時，都有S_n＜S₆，求a₁的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求公差d；
（Ⅱ）n≠5時，恒有S_n＜S₅，可得S₅最大且有d＜0，結(jié)合a₁，d∈Z求a₁的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因為a₂，a₄，a₉ 成等比數(shù)列，所以${a_4}^2={a_2}•{a_9}$．
將a₁=1 代入得（1+3d）²=（1+d）•（1+8d），
解得d=0 或d=3．
因為數(shù)列{a_n} 為公差不為零的等差數(shù)列，
所以d=3．
數(shù)列{a_n} 的通項公式a_n=1+（n-1）•3=3n-2．
（Ⅱ）因為對任意n∈N^*，n≠6 時，都有S_n＜S₆，所以S₆ 最大，
則$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}＜{S}_{6}}\\{{S}_{7}＜{S}_{6}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{6}＞0}\\{{a}_{7}＜0}\end{array}\right.$ 則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d＞0}\\{{a}_{1}+6d＜0}\end{array}\right.$，
因此-5d＜a₁＜-6d．
因為a₁，d∈Z，d＜0，
故當d=-1時，5＜a₁＜6，此時a₁ 不滿足題意．
當d=-2時，10＜a₁＜12，則a₁=11，
當d=-3時，15＜a₁＜18，a₁=16，17，
易知d≤-3 時，a₁≥16，則a₁ 的最小值為11．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．