Question

5．已知函數f（x）=ax-lnx，（a∈R），
（1）是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（2）當x∈（0，e]時，證明：e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出滿足條件的a的值即可；
（2）令F（x）=e²x-lnx，求出F（x）的最小值，令ω（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，求出ω（x）的最大值，從而證出結論即可．

解答 解：（1）假設存在實數a，使f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，$f'（x）=\frac{ax-1}{x}$
①當a≤0時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min（x）=f（e）=ae-1=3，
a=$\frac{4}{e}$（舍去），
②當0＜$\frac{1}{a}$＜e時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a}）=1+lna=3$，a=e²，滿足條件．
③當$\frac{1}{a}$≥e時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
a=$\frac{4}{e}$（舍去），
綜上，存在實數a=e²，使得x∈（0，e]時，f（x）有最小值3；
（2）令F（x）=e²x-lnx，由（1）得：F（x）_min=3，
令ω（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，則ω′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令ω′（x）＞0，解得：0＜x＜e，故ω（x）在（0，e]遞增，
∴ω（x）_max=ω（e）=3，
∴e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及放假分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．