Question

14．已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P（a₂，b₂），…P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的圖象上．
（1）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-2^-n，過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積為c_n，求最小的實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意的n∈N^*，c_n≤t恒成立．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，則P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的圖象上．$_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$，可得a_n=$（\frac{1}{2}）^{_{n}}$．計(jì)算$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$為常數(shù)即可得出．
（2）由S_n=1-2^-n，可得${a}_{1}=1-{2}^{-1}$=$\frac{1}{2}$．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{1}{2}）^{n}$．可得b_n=n．由P_n$（（\frac{1}{2}）^{n}，n）$，P_n+1$（（\frac{1}{2}）^{n+1}，n+1）$．過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線方程為：$\frac{y-n}{（n+1）-n}$=$\frac{x-\frac{1}{{2}^{n}}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}}$，可得：A_n$（\frac{n+2}{{2}^{n+1}}，0）$，B_n（0，n+2）.${c}_{n}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|$．判定數(shù)列{c_n}單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，則P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的圖象上．
$_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$，∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{_{n}}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{_{n+1}-_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^ksaoc75$對(duì)n∈N^*恒成立，
得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）解：由S_n=1-2^-n，可得${a}_{1}=1-{2}^{-1}$=$\frac{1}{2}$．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=1-2^-n-（1-2^-（n-1））=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
$_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n}$=n，
∴P_n$（（\frac{1}{2}）^{n}，n）$，P_n+1$（（\frac{1}{2}）^{n+1}，n+1）$．過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線方程為：$\frac{y-n}{（n+1）-n}$=$\frac{x-\frac{1}{{2}^{n}}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}}$，化為：y=n-2（2ⁿx-1）．
可得：A_n$（\frac{n+2}{{2}^{n+1}}，0）$，B_n（0，n+2）.${c}_{n}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|$=$\frac{（n+2）^{2}}{{2}^{n+2}}$．
由c_n-c_n+1=$\frac{（n+2）^{2}}{{2}^{n+2}}-\frac{（n+3）^{2}}{{2}^{n+3}}$=$\frac{{n}^{2}+2n-1}{{2}^{n+2}}$＞0．∴數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減，
使得對(duì)任意的n∈N^*，c_n≤t恒成立，則t≥c₁=$\frac{9}{8}$．
∴t的最小值為$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、直線方程、數(shù)列的單調(diào)性、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．