Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a，b滿足f（ab）=f（a）+f（b），且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）若f（3）=1，求f（x）+f（x-2）＞1的解集．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令a=b=1，和a=b=-1，即可求f（1），f（-1）的值；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義先判斷函數(shù)的奇偶性，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答 解：（1）令a=b=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令a=b=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），
即2f（-1）=0，
∴f（-1）=0；
（2）令b=-1，
則f（-a）=f（a）+f（-1）=f（a），
即f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，
若f（3）=1，
則f（x）+f（x-2）＞1等價(jià)為f（x）+f（x-2）＞f（3），
即f（x（x-2））＞f（3），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)且f（x）為偶函數(shù)，
∴不等式等價(jià)為f（|x（x-2）|）＞f（3），
即|x（x-2）|＞3，
即x（x-2）＞3或x（x-2）＜-3，
即x²-2x-3＞0或x²-2x-3＜-3，
即（x+1）（x-3）＞0或x（x-2）＜0，
即x＞3或x＜-1或0＜x＜2，
即不等式的解集為{x|x＞3或x＜-1或0＜x＜2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．