Question

18．已知函數(shù)f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x$+\frac{π}{4}$）+2sin（x$+\frac{π}{4}$）sin（x$-\frac{π}{4}$）$+\sqrt{3}$．
（I）求函數(shù)f（x）的單凋遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，利用函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x$+\frac{π}{4}$）+2sin（x$+\frac{π}{4}$）sin（x$-\frac{π}{4}$）$+\sqrt{3}$
=-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$-2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）-sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=-$\sqrt{3}$+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴-$\sqrt{3}$+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，即函數(shù)的值域?yàn)閇-2$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．