已知函數(shù)f(x)=lnx-mx+m,m∈R.
(1)已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)(l,f(1))處與x軸相切,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(1)的結(jié)論下,對(duì)于任意的0<a<b,證明:
f(b)-f(a)
b-a
1
a
-1.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由函數(shù)f(x)在點(diǎn)(l,f(1))處與x軸相切,可得f′(1)=0,從而求得m的值;
(2)由(1)中求得的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)m進(jìn)行分類(lèi),m≤0時(shí),有f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增;m>0時(shí),由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;
(3)把(1)中求出的m值代入函數(shù)解析式,把
f(b)-f(a)
b-a
1
a
-1轉(zhuǎn)化為
ln
b
a
b
a
-1
<1
,令
b
a
=t
后轉(zhuǎn)化為lnt-t+1<0,t>1,即f(t)<0,t>1.由(2)中的函數(shù)的單調(diào)性得到證明.
解答: (1)解:由f(x)=lnx-mx+m,得f(x)=
1
x
-m (x>0)

∵f(x)在點(diǎn)(l,f(1))處與x軸相切,
∴f′(1)=1-m=0,即m=1;
(2)解:∵f(x)=
1
x
-m (x>0)

當(dāng)m≤0時(shí),f(x)=
1
x
-m>0
,知函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增;
當(dāng)m>0時(shí),f(x)=
-m(x-
1
m
)
x
,由f′(x)>0,得x∈(0,
1
m
)

由f′(x)>0,得x∈(
1
m
,+∞)

即函數(shù)f(x)在(0,
1
m
)
上遞增,在(
1
m
,+∞)
上遞減;
(3)證明:由(1)知m=1,得f(x)=lnx-x+1,
對(duì)于任意的0<a<b,
f(b)-f(a)
b-a
1
a
-1可化為
(lnb-b)-(lna-a)
b-a
1
a
-1
,其中0<a<b,
?
ln
b
a
b
a
-1
<1
,其中0<a<b,
?
lnt
t-1
<1,t>1
?lnt-t+1<0,t>1,即f(t)<0,t>1.
由(2)知,函數(shù)f(x)在(1,+∞)遞減,且f(1)=0,于是上式成立.
故對(duì)于任意的0<a<b,
f(b)-f(a)
b-a
1
a
-1
成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,重點(diǎn)體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)于(3)的證明,運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和換元法,是高考試卷中的壓軸題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若關(guān)于x的方程x2-mx+2=0在(1,4)內(nèi)有兩個(gè)解,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P是橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上的點(diǎn),求點(diǎn)P到直線(xiàn)x+2y-10=0的距離的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-3,0),(0,3),對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=-1交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)D為頂點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且S△PAC=2S△DAC,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且∠MAC=∠ADE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且△ABC的面積為S=
3
2
accosB.
(1)若c=2a,求角A,B,C的大;
(2)若a=2,且A=
π
3
,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
22x-1

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域;
(2)若x∈[1,
9
2
],求函數(shù)f(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)求三梭錐A一BDP的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若ax2+2x-3=0在(0,1)與(-
1
2
,0)內(nèi)分別恰有一解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若α為銳角,sin(α-30°)=
1
3
,則cosα=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案