Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三梭錐A一BDP的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）根據(jù)中位線定理證明線線平行，再由線面平行的判定定理證明PA∥平面BDE；
（II）利用三棱錐的換底性，代入數(shù)據(jù)計算可得答案．

解答： 解：（I）證明：連接AC交BD于O，連接OE，
∵ABCD是正方形，∴O為AC的中點，
又E是PC的中點，∴OE∥PA，
PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA∥平面BDE；
（II）∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∴PD為三棱錐P-ABD的高，PD=DC=2，
∴V_A-BDP=V_P-ABD=

1

3

×S_△ABD×PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

點評：本題考查了線面平行的證明及三棱錐的體積計算，利用線線平行證明線面平行是證明線面平行的基本方法．