Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為a_n的一組正三角形A_nB_n-1B_n的底邊B_n-1B_n依次排列在x軸上（B₀與坐標(biāo)原點重合）．設(shè){a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，若所有正三角形頂點A_n在第一象限，且均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則$\frac{a}g212wih$的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，利用正三角形的性質(zhì)得出點A₁的坐標(biāo)，又點A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則點A₁的坐標(biāo)適合拋物線方程，得到p=$\frac{3}{4}$a；又{a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，同理得到點A₂的坐標(biāo)且點A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有a=d，從而求出答案．

解答 解：由題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，
∴點A₁的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
又∵點A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）²=2p×$\frac{a}{2}$，
∴p=$\frac{3}{4}$a，
又{a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，a₂=a+d，
即正三角形A₂B₁B₂的邊長為a+d，
∴點A₂的坐標(biāo)為（a+$\frac{a+d}{2}$，$\frac{\sqrt{3}（a+d）}{2}$），
又∵點A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則[$\frac{\sqrt{3}（a+d）}{2}$]²=2p（a+$\frac{a+d}{2}$），
化簡得（a-d）（2a+d）=0，∵2a+d＞0，
∴a=d，
則$\frac{a}7hjkf7m$的值為1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查數(shù)列與解析幾何綜合的知識點，本題是一道綜合性的習(xí)題，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出正三角形的坐標(biāo)后代入拋物線方程得出變量之間的關(guān)系式．