Question

17．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₅=5，數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且2S_n=1-b_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₃=3、a₅=5可知公差$d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{5-3}=1$，進而利用a_n=a₅+（n-5）d計算可得等差數(shù)列{a_n}的通項公式；當$n≥2時，有{b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}（{b_{n-1}}-{b_n}）$，進而可知數(shù)列{b_n}是首項、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知${T_n}=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n}{3^n}$、$\frac{1}{3}{T_n}$=$\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∴a₃=3，a₅=5，
∴公差$d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{5-3}=1$，
∴a_n=a₅+（n-5）d=n；
當$n≥2時，有{b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}（{b_{n-1}}-{b_n}）$，
整理得：$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{3}（n≥2）$，
又∵${b_1}={S_1}=\frac{{1-{b_1}}}{2}$，即${b_1}=\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知${T_n}=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n}{3^n}$（1），
∴$\frac{1}{3}{T_n}$=$\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$（2），
（1）-（2），得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3^n}）-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
化簡得：${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{1}{{4×{3^{n-1}}}}-\frac{n}{{2×{3^n}}}=\frac{3}{4}-\frac{{（{2n+3}）}}{{4×{3^n}}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．