Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知，a₁=0，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）S_n=

 

（2）若

100n

an+1+3•2n-1

-2≥k²-3|k|，對(duì)n∈N^*恒成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，再由S₁-3=-3，能求出Sn=3n-3•2n-1．
（2）由已知得

50n

3n

≥k²-3|k|+2，對(duì)n∈N^*恒成立，從而得到k²-3|k|+2≤0，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a₁=0，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*，
∴依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，
即Sn+1=2Sn+3n，
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，
∵S₁-3=-3，
∴Sn-3n=-3•2^n-1，n∈N^*，
∴Sn=3n-3•2n-1．
故答案為：3ⁿ-3•2^n-1．
（2）∵

100n

an+1+3•2n-1

-2≥k²-3|k|，對(duì)n∈N^*恒成立，
∴

50n

3n

≥k²-3|k|+2，對(duì)n∈N^*恒成立，
∵

50n

3n

＞0，∴k²-3|k|+2≤0，
當(dāng)k＞0時(shí)，k²-3k+2≤0，解得1≤k≤2；
當(dāng)k＜0時(shí)，k²+3k+2≤0，解得-2≤k≤-1．
∴k的取值范圍是：[1，2]∪[-2，-1]．
故答案為：[1，2]∪[-2，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要前n項(xiàng)和公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．