Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-p，其中p是不為零的常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)p=2時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n（n∈N⁺），求數(shù)列{nb_n}的前項(xiàng)n和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-p，得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a₁=2a₁-p，由此能證明{a_n}是首項(xiàng)為p，公比為2的等比數(shù)列．
（2）當(dāng)p=2時(shí)，a_n=2ⁿ，從而b_n+1-b_n=2ⁿ，由此利用累加法能求出b_n=2ⁿ．從而nb_n=n•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（n-1）•2^n-1+2．

解答： （1）證明：因?yàn)镾_n=2a_n-p（n∈N^*），
則S_n-1=2a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1
由S_n=2a_n-p，令n=1，得a₁=2a₁-p，
解得a₁=p，
所以{a_n}是首項(xiàng)為p，公比為2的等比數(shù)列．
（2）解：當(dāng)p=2時(shí)，a_n=2ⁿ，
∵滿足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n=bn+2n，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1
=2+2+2²+2³+…+2^n-1
=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ．
∴nb_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2^n-1+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意累加法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．