【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).
f(1)=0,即點(diǎn)為(1,0),
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=lnx+(x+1) ﹣4,
則f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,
即函數(shù)的切線斜率k=f′(1)=﹣2,
則曲線y=f(x)在(1,0)處的切線方程為y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2
(2)
∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),
∴f′(x)=1+ +lnx﹣a,
∴f″(x)= ,
∵x>1,∴f″(x)>0,
∴f′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.
①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)>f(1)=0,滿足題意;
②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函數(shù)f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合題意.
綜上所述,a≤2.
【解析】(1)當(dāng)a=4時(shí),求出曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線的斜率,即可求出切線方程;(II)先求出f′(x)>f′(1)=2﹣a,再結(jié)合條件,分類討論,即可求a的取值范圍.;本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查參數(shù)范圍的求解,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,有難度.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):和,稱則可以表示成為的函數(shù),即為一個(gè)復(fù)合函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解男性家長(zhǎng)和女性家長(zhǎng)對(duì)高中學(xué)生成人禮儀式的接受程度,某中學(xué)團(tuán)委以問(wèn)卷形式調(diào)查了位家長(zhǎng),得到如下統(tǒng)計(jì)表:
男性家長(zhǎng) | 女性家長(zhǎng) | 合計(jì) | |
贊成 | |||
無(wú)所謂 | |||
合計(jì) |
(1)據(jù)此樣本,能否有的把握認(rèn)為“接受程度”與家長(zhǎng)性別有關(guān)?說(shuō)明理由;
(2)學(xué)校決定從男性家長(zhǎng)中按分層抽樣方法選出人參加今年的高中學(xué)生成人禮儀式,并從中選人交流發(fā)言,求發(fā)言人中至多一人持“贊成”態(tài)度的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求該函數(shù)的值域;
(2)求不等式的解集;
(3)若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圓心到直線ax+y﹣1=0的距離為1,則a=( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費(fèi) | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:
出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;
(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)估計(jì)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以作出曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(-1)n(2n-1)(n∈N*),Sn為其前n項(xiàng)和.
(1)求S1,S2,S3,S4的值;
(2)猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量=(2sinx,-1),=(sinx,3),若函數(shù)f(x)=.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的集合.
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