Question

18．已知m＞2，若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{x}-2，0＜x≤2}\\{g（x-2）+m-2，2＜x≤4}\end{array}\right.$，則方程g（g（x））-m+3=0的根的個(gè)數(shù)最多有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 做出g（x）的函數(shù)圖象，判斷兩段函數(shù)圖象的關(guān)系，令g（x）=t，判斷關(guān)于t的方程g（t）-m+3=0的根的個(gè)數(shù)及根所在的區(qū)間，總而得出關(guān)于x的方程g（x）=t的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：由題意可知g（x）在（2，4]上的圖象是由（0，2]上的圖象向右平移2個(gè)單位再向上平移m-2個(gè)單位得到的．
做出g（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：
∵m＞2，∴m²-2-（m-3）=m²-m+1＞0，
∴m²-2＞m-3，
設(shè)g（x）=t，由g（g（x））-m+3=0得g（t）=m-3，
∴關(guān)于t的方程g（t）=m-3有且只有一解t₀，且t₀∈（0，2），
∵m＞2，∴m²-2＞2，
∴當(dāng)m-3≥2時(shí)，g（x）=t₀只有1解，
當(dāng)m-3≤0時(shí)，g（x）=t₀有2解，
當(dāng)0＜m-3＜2時(shí)，g（x）=t₀可能有1解，也可能有2解．
∴方程g（g（x））-m+3=0的根的個(gè)數(shù)最多有2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象的變換，方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．