Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象（二次函數(shù)圖象的一部分），如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象：
（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）在y軸右邊的圖象并寫(xiě)出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，（x∈[1，2]）（a∈R為常數(shù)），求函數(shù)g（x）的最小值及最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得函數(shù)f（x）在y軸右邊的圖象并寫(xiě)出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，（x∈[1，2]）（a∈R為常數(shù)），分類(lèi)討論，求函數(shù)g（x）的最小值及最大值．

解答 解：（1）圖象如圖所示，解析式為$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x}&{x≤0}\\{{x^2}-2x}&{x≥0}\end{array}}\right.$
（2）∵x∈[1，2]∴f（x）=x²-2xg（x）=x²-2（a+1）x+2x∈[1，2]
①當(dāng)a+1＜1即a＜0時(shí)，g（x）在[1，2]單調(diào)遞增，故g（x）_min=g（1）=1-2a
②當(dāng)1≤a+1≤2即0≤a≤1時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（a）=-{a^2}-2a+2$
③當(dāng)2＜a+1即1＜a時(shí)，g（x）在[1，2]單調(diào)遞減，故g（x）_min=g（2）=2-4a
所以g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-2a，a＜0}\\{-{a}^{2}-2a+2，0≤a≤1}\\{2-4a，a＞1}\end{array}\right.$；
①當(dāng)$a+1＜\frac{3}{2}$即$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）_max=g（2）=2-4a
②當(dāng)$a+1≥\frac{3}{2}$即$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，故g（x）_max=g（1）=1-2a
所以$g{（x）_{max}}=\left\{{\begin{array}{l}{2-4a}&{a＜\frac{1}{2}}\\{1-2a}&{a≥\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．