Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x-2msinx+（2m-1）sinxcosx（m為實(shí)數(shù)）在（0，π）上為增函數(shù)，則m的取值范圍為（　　）

• A． [0，$\frac{2}{3}$]
• B． （0，$\frac{2}{3}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$]
• D． [0，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由條件和余弦函數(shù)的范圍將問題轉(zhuǎn)化為：（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立，再對m分類討論，利用余弦函數(shù)的范圍求出m的范圍．

解答 解：由題意得：f′（x）=1-2mcosx+2（m-$\frac{1}{2}$）cos2x
=2[（2m-1）cos²x-mcosx+1-m]
=2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]
∵f（x）在區(qū)間（0，π）上是增函數(shù)，
∴2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]＞0在（0，π）上恒成立．…（6分）
∵0＜x＜π，∴cosx＜1．即（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立…（7分）
①若m＞$\frac{1}{2}$，則cosx＜$\frac{1-m}{2m-1}$對于x∈（0，π）恒成立，
則只需$\frac{1-m}{2m-1}$≥1，即$\frac{1}{2}$＜m≤$\frac{2}{3}$；…（9分）
②若m=$\frac{1}{2}$，則0•cosx+$\frac{1}{2}$-1＜0對于x∈（0，π）顯然成立；…（10分）
③若m＜$\frac{1}{2}$，則cosx＞$\frac{1-m}{2m-1}$對于x∈（0，π）恒成立，
則只需$\frac{1-m}{2m-1}$≤-1，即0≤m＜$\frac{1}{2}$．…（11分）
綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，$\frac{2}{3}$]．
故選：A．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，余弦函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，涉及了分類討論思想和換元法，一題多解，綜合性較強(qiáng)，難度大．