Question

用e，f，g三個(gè)不同的字母組成一個(gè)含有n+1（n∈N⁺）個(gè)字母的字符串，要求由字母e開始，相鄰兩個(gè)字母不能相同，例如n=1時(shí)，排出的字符串為ef，eg：n=2時(shí)，排出的字符串是efe，ege，efg，egf，…在這種含有n+1個(gè)字母的字符串中，記排在最后一個(gè)的字母仍然是e的字符串的個(gè)數(shù)為a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

3

2

（n≥2）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件能求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由a_n-1的構(gòu)成方式入手，由e開頭，n個(gè)字符組成的相鄰兩個(gè)字母不能相同的字符串的數(shù)目為2^n-1個(gè)，由已知得a_n+2-a_n=2ⁿ，由此能求出a_n=

2n 3 - 2 3 ，n為奇數(shù) 2n 3 + 2 3 ，n為偶數(shù)

．
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

an

+

1

an+1

＜

3

2n

+

3

2n+1

，由此利用分類討論思想能證明

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

3

2

（n≥2）．

解答： （1）解：由已知得n=1時(shí)，排出的字符串為ef，eg，
∴a₁=0；
：n=2時(shí)，排出的字符串是efe，ege，efg，egf，
∴a₂=2；
n=3時(shí)，efge，egfe，efeg，egef，
∴a₃=2．
（2）解：由a_n-1的構(gòu)成方式入手，由e開頭，
n個(gè)字符組成的相鄰兩個(gè)字線不能相同的字符串的數(shù)目為2^n-1個(gè)，
這2^n-1個(gè)字符串由三類構(gòu)成，
①，e，…，e，個(gè)數(shù)為a_n-1，
②e，…，f，
③e，…，g，
其中后兩數(shù)的字符串的和為a_n個(gè)，
∴a_n-1+a_n=2^n-1（n≥2），
由a_n-1+a_n=2^n-1（n≥2），
得an+an+1=2n，an+1+an+2=2n+1，
作差，得a_n+2-a_n=2ⁿ，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a4-a2=22，a6-a4=24，…，an-an-2=2n-2，
∴a_n=

2n

3

+

2

3

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2^n-1-a_n-1=

2n

3

-

2

3

，
∴a_n=

2n 3 - 2 3 ，n為奇數(shù) 2n 3 + 2 3 ，n為偶數(shù)

．
（3）證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

an

+

1

an+1

＜

3

2n

+

3

2n+1

?

3

2n+2

+

3

2n+1-2

＜

3

2n

+

3

2n+1

?

1

(2n+2)(2n+1-2)

＜

1

2n•2n+1

?2ⁿ•2ⁿ⁺¹＜（2ⁿ+2）（2ⁿ⁺¹-2）
?0＜2ⁿ⁺¹-4，
∵0＜2ⁿ⁺¹-4成立，∴

1

an

+

1

an+1

＜

3

2n

+

3

2n+1

．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

=

3

2

(1-

1

2n-1

)＜

3

2

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

an

＜

3

2n+2

＜

3

2n

，

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

=

3

2

(1-

1

2n-1

)＜

3

2

，
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

3

2

（n≥2）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．