Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

[x2-2(2a-1)x+8]（a∈R）．
（1）若使函數(shù)f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，求y=f[sin（2x-

π

3

）]，x∈[

π

12

，

π

2

]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）在[a，+∞﹚上為減函數(shù)，建立不等式組，即可求a的取值范圍；
（2）確定y=f[sin（2x-

π

3

）]，結(jié)合三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）在[a，+∞﹚上為減函數(shù)，
∴

2a-1≤a a2-2(2a-1)a+8＞0

∴-

4

3

＜a≤1；
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，f（x）=log

1

2

(x2-x+8)，
∴y=f[sin（2x-

π

3

）]=log

1

2

{sin(2x-

π

3

)-

1

2

]2+

31

4

}，
∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇log

1

2

10，log

1

2

35

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．