Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由已知得x＞0，f′(x)=

x+a

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）由（I）導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)-e＜a≤0時(shí)，f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．

解答： 解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，f′(x)=

x+a

x

，
∴當(dāng)a≥0時(shí)，在x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），沒(méi)的減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）與f′（x）在定義域上的情況如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

函數(shù)的增區(qū)間是（-a，+∞），減區(qū)間是（0，a）．
（II）由（I）可知
當(dāng)a＞0時(shí)，（0，+∞）是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，且有f（e 

1

a

）=e

1

a

-1＜1-1=0，f（1）=1＞0，
所以，此時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上沒(méi)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（-a）是函數(shù)f（x）的極小值，也是函數(shù)f（x）的最小值，
所以，當(dāng)f（-a）=a[ln（-a）-1]＞0，即a＞-e時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)-e＜a≤0時(shí)，f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．