Question

18．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-[x]，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}\right.$，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．若方程f（x）=ax有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義，分別作出函數(shù)f（x）和g（x）=ax的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，[x]=-2，此時(shí)f（x）=x-[x]=x+2．
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，[x]=-1，此時(shí)f（x）=x-[x]=x+1．
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，-1≤x-1＜0，此時(shí)f（x）=f（x-1）=x-1+1=x．
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，0≤x-1＜1，此時(shí)f（x）=f（x-1）=x-1．
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，1≤x-1＜2，此時(shí)f（x）=f（x-1）=x-1-1=x-2．
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，2≤x-1＜3，此時(shí)f（x）=f（x-1）=x-1-2=x-3．
設(shè)g（x）=ax，則g（x）過(guò)定點(diǎn)（0，0），
坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和g（x）的圖象如圖：
當(dāng)g（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，1），D（4，1）時(shí)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-1，1），C（3，1）時(shí)，有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
則OA的斜率k=$-\frac{1}{2}$，OB的斜率k=-1，OC的斜率k=$\frac{1}{3}$，OD的斜率k=$\frac{1}{4}$，
故滿(mǎn)足條件的斜率k的取值范圍是$-1＜k≤-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}≤k＜\frac{1}{3}$，
故答案為：（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本思想．