Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₃=9，S₆=36，設(shè)關(guān)于x的不等式x²-x+2²ⁿ⁺¹＜（3x-1）•2ⁿ（n∈N^*）的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為c_n．
（1）求（n-10）S_n的最小值；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{c}_{n}}$}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式；
（2）運(yùn)用二次不等式的解法可得c_n=2ⁿ，再由錯(cuò)位相減法，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）S₃=9，S₆=36，
則3a₁+$\frac{1}{2}$×3×2d=9，6a₁+$\frac{1}{2}$×6×5d=36，
解得a₁=1，d=2，
則a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²，
令f（n）=（n-10）n²，f′（n）=3n²-20n，
由f′（n）＞0，可得n＞$\frac{20}{3}$；由f′（n）＜0，可得0＜n＜$\frac{20}{3}$．
由于n為整數(shù)，且f（6）=-144，f（7）=-147．
即有n=7時(shí)，（n-10）S_n取得最小值，且為-147；
（2）x²-x+2²ⁿ⁺¹＜（3x-1）•2ⁿ（n∈N^*）
即為x²-（1+3•2ⁿ）x+（2ⁿ+2²ⁿ⁺¹）＜0，
解得2ⁿ＜x＜2ⁿ⁺¹+1，
即有c_n=2ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+5•$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+5•$\frac{1}{16}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
化簡(jiǎn)可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查不等式的解法，屬于中檔題．