Question

5．已知函數(shù)g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，函數(shù)h（x）=x²-m．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）=g（x）+6lnx+x的最小值；
（2）試討論函數(shù)p（x）=h（x）-mx在區(qū)間[0，4]上的單調性；
（3）當a=2時，若?x₁∈（0，1），對?x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（x）得到f（x）的解析式，對其求導，由單調性得到最值．
（2）p（x）為二次函數(shù)，通過分析對稱軸可以得到單調性．
（3）?x₁∈（0，1），表明需要找出g（x）的最大值即可．對?x₂∈[1，2]，表明也需要找出h（x）的最小值．

解答 解：（1）當a=-1時，g（x）=-x+$\frac{1}{x}$-5lnx，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，
∴定義域為（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增．
f（x）的最小值為f（1）=1．
（2）p（x）=x²-mx-m，對稱軸為x=$\frac{m}{2}$
①當$\frac{m}{2}$≤0時，即m＜0時，p（x）在區(qū)間[0，4]時單調遞增的．
②0＜$\frac{m}{2}$＜4時，即0＜m＜8時，p（x）在區(qū)間[0，$\frac{m}{2}$]上單調遞減，在區(qū)間[$\frac{m}{2}$4]上單調遞增．
③$\frac{m}{2}$≥4時，即m≥8時，p（x）在區(qū)間[0，4]上單調遞減．
（3）當a=2時，g（x）=2x-$\frac{x}{2}$-5lnx，
∵若?x₁∈（0，1），對?x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴只需g（x）最大值大于等于h（x）的最大值．
∵g′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在區(qū)間[0，1]上最大值為g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+5ln2，
∵h（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，h（x）的最大值為h（2）=4-m，
∴$\frac{3}{4}$+5ln2≥4-m，
∴m≥$\frac{13}{4}$-5ln2．

點評 本題考查函數(shù)求導，及由不等式來確定取值范圍問題．