Question

己知 定義在R上的函數，當x∈[0，2]時，f（x）=8（1-|x-1|），且對于任意的實數x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N，且n≥2），都有f（x）=

1

2

f（

x

2

-1），若函數g（x）=f（x）-log_ax有且只有三個零點，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分別作出函數f（x）和y=log_ax的圖象，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：當x∈[0，2]時，f（x）=8（1-|x-1|），
當n=2時，x∈[2，6]，此時

x

2

-1∈[0，2]，則f（x）=

1

2

f（

x

2

-1）=

1

2

×8（1-|

x

2

-1-1|）=4（1-|

x

2

-2|），
當n=3時，x∈[6，14]，此時

x

2

-1∈[2，6]，則f（x）=

1

2

f（

x

2

-1）=

1

2

×4（1-|

x

4

-

5

2

|）=2（1-|

x

4

-

5

2

|），
由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分別作出函數f（x）和y=log_ax的圖象，
若0＜a＜1，則此時兩個函數圖象只有1個交點，不滿足條件．
若a＞1，當對數函數圖象經過A時，兩個圖象只有2個交點，當圖象經過點B時，兩個函數有4個交點，
則要使兩個函數有3個交點，則對數函數圖象必須在A點以下，B點以上，
∵f（4）=4，f（10）=2，∴A（4，2），B（10，2），
即滿足

loga4＜f(4) loga10＞f(10)

，
即

loga4＜4 loga10＞2

，解得

a4＞4 a2＜10

，
即2＜a²＜10，
∵a＞1，
∴

2

＜a＜

10

，
故則a的取值范圍為是（

2

，

10

），
故答案為：（

2

，

10

）

點評：本題主要考查分段函數的應用，利用函數零點和方程之間的關系，將條件轉化為兩個函數交點問題，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一點的難度．