Question

9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1）}\\{2-{x}^{2}，x∈[-1，0）}\end{array}\right.$且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實根之和為（　　）

• A． -7
• B． -8
• C． -9
• D． -10

Answer 1

分析 化簡g（x）的表達式，得到g（x）的圖象關(guān)于點（-2，1）對稱，由f（x）的周期性，畫出f（x），g（x）的圖象，通過圖象觀察[-5，1]上的交點的橫坐標的特點，求出它們的和．

解答 解：由題意知g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，且函數(shù)f（x）的周期為2，
則函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-5，1]上的圖象如下圖所示：
由圖形可知函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-5，1]上的交點為A，B，C，易知點B的橫坐標為-3，
若設(shè)C的橫坐標為t（0＜t＜1），則點A的橫坐標為-4-t，
所以方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實數(shù)根之和為-3+（-4-t）+t=-7，
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查函數(shù)的周期性、對稱性和應(yīng)用，同時考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．