Question

14．已知數(shù)列{a_n+1+a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2，a₁=0．
（1）求數(shù)列{a_n+1+a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n+1+a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n+1+a_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n+1+a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2，a₁=0．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1+a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．
當(dāng)n=1時(shí)，a₂+a₁=S₁=2，滿足a_n+1+a_n=2ⁿ．
即數(shù)列{a_n+1+a_n}的通項(xiàng)公式為a_n+1+a_n=2ⁿ．
（2）由a_n+1+a_n=2ⁿ．
得a_n+2+a_n+1=2ⁿ⁺¹．
兩式相減得a_n+2-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_n-2-a_n-4）+（a_n-a_n-2）
=0+2¹+2³+…+2^n-4+2^n-2=$\frac{2-{2}^{n-2}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$-$\frac{2}{3}$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由a₁=0得a₂=2，
a_n=a₂+（a₄-a₂）+（a₆-a₄）+…+（a_n-2-a_n-4）+（a_n-a_n-2）
=2+2²+2⁴+…+2^n-4+2^n-2=2+$\frac{{2}^{2}-{2}^{n-2}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$+$\frac{2}{3}$．
綜上a_n=$\frac{{2}^{n}}{3}$+（-1）ⁿ•$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．