Question

1．某生產(chǎn)廠商更新設(shè)備，已知在未來x 年內(nèi)，此設(shè)備所花費的各種費用總和y（萬元）與x滿足函數(shù)關(guān)系y=4x²+64，若欲使此設(shè)備的年平均花費最低，則此設(shè)備的使用年限x為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)題意，列出該設(shè)備所花費的年平均費用函數(shù)式f（x），利用基本不等式或判別式法，
求出f（x）取最小值時x的值即可．

解答 解：解法一，根據(jù)題意，得；
該設(shè)備所花費的年平均費用為
f（x）=$\frac{y}{x}$=$\frac{{4x}^{2}+64}{x}$=4x+$\frac{64}{x}$，其中x＞0；
∵x＞0，∴4x+$\frac{64}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{64}{x}}$=32，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=$\frac{64}{x}$，即x=4時，取“=”；
∴當(dāng)x=4時，該設(shè)備的年平均花費最低．
解法二，根據(jù)題意，得；
該設(shè)備所花費的年平均費用為
f（x）=$\frac{y}{x}$=$\frac{{4x}^{2}+64}{x}$，其中x＞0；
設(shè)t=$\frac{{4x}^{2}+64}{x}$，
∴4x²-tx+64=0，
∴△=t²-4×4×64≥0，
解得t≥32或t≤-32（不和題意，舍去），
當(dāng)t=32時，x=$\frac{32±0}{8}$=4，
∴x=4時，該設(shè)備的年平均花費最低．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求函數(shù)最小值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．