Question

9．如圖，將邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且AC=$\sqrt{6}$，
（1）證明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求DE與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BE，交點為G，推導(dǎo)出AG⊥GC，從而AG⊥平面BCDE，由此能證明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）以G為坐標(biāo)原點，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用向量法能求出FE與平面ABC所成角的正弦值．

解答 （本小題滿分12分）
（1）證明：正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點為G，
由題意得AC⊥BE，且AG=CG=$\sqrt{3}$，
在多面體中，由AC=$\sqrt{6}$，知AG²+CG²=AC²，故AG⊥GC，…（2分）
又GC∩BE=G，GC、BE?平面BCDE，故AG⊥平面BCDE，…..（5分）
又AG?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BCDE．…（6分）
（2）解：以G為坐標(biāo)原點，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．
由AG=CG=$\sqrt{3}$，BG=1，GE=3，則A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（$\sqrt{3}$，2，0），E（0，3，0），F(xiàn)（0，2，$\sqrt{3}$）．
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DE}=（-\sqrt{3}，1，0）$，…（8分）
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
∴$cos\left?{\overrightarrow{DE，}\overrightarrow{n_1}}\right＞=-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴FE與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…．（12分）

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．