Question

19．已知兩個非零向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（2，-8），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（-6，-4），求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的數(shù)量積和$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標運算與數(shù)量積運算，利用方程組求出$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$以及|$\overrightarrow a$|、|$\overrightarrow$|的值，再求$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow b$夾角的余弦值．

解答 解：∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（2，-8），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（-6，-4），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-b²=2×（-6）-8×（-4）=20，…①
${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2²+（-8）²=68，…②
${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=（-6）²+（-4）²=52；…③
由①、②、③組成方程組，
解得$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=4，${\overrightarrow{a}}^{2}$=40，${\overrightarrow}^{2}$=20；
所以|$\overrightarrow a$|=2$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{5}$；
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow b$的夾角θ的余弦值為
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{4}{2\sqrt{10}×2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積與坐標運算的應用問題，屬于基礎題．