Question

6．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A，B是圓（x+c）²+y²=4c²與C位于x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)，且F₁A∥F₂B，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2+\sqrt{7}}}{3}$
• B． $\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}$
• C． $\frac{{3+\sqrt{17}}}{4}$
• D． $\frac{{5+\sqrt{17}}}{4}$

Answer 1

分析 連接BF₁，AF₂，由雙曲線的定義，可得|AF₂|=2a+2c，|BF₂|=2c-2a，在△AF₁F₂中，和△BF₁F₂中，運(yùn)用余弦定理求得cos∠AF₁F₂，os∠BF₂F₁，由F₁A∥F₂B，可得∠BF₂F₁+∠AF₁F₂=π，即有cos∠BF₂F₁+cos∠AF₁F₂=0，化簡(jiǎn)整理，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：連接BF₁，AF₂，
由雙曲線的定義，可得|AF₂|-|AF₁|=2a，
|BF₁|-|BF₂|=2a，
由|BF₁|=|AF₁|=2c，
可得|AF₂|=2a+2c，|BF₂|=2c-2a，
在△AF₁F₂中，可得cos∠AF₁F₂=$\frac{4{c}^{2}+4{c}^{2}-（2a+2c）^{2}}{2•2c•2c}$=$\frac{{c}^{2}-2ac-{a}^{2}}{2{c}^{2}}$，
在△BF₁F₂中，可得cos∠BF₂F₁=$\frac{4{c}^{2}+（2c-2a）^{2}-4{c}^{2}}{2•2c•（2c-2a）}$=$\frac{c-a}{2c}$，
由F₁A∥F₂B，可得∠BF₂F₁+∠AF₁F₂=π，即有cos∠BF₂F₁+cos∠AF₁F₂=0，
可得$\frac{{c}^{2}-2ac-{a}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{c-a}{2c}$=0，
化為2c²-3ac-a²=0，
得2e²-3e-1=0，解得e=$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$（負(fù)的舍去），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和三角形的余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．