Question

10．心理學家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30名女20名），給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答，選題情況如表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5-7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩名女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）．
附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)計算K²的觀測值，比較臨界值得出統(tǒng)計結(jié)論；
（2）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，
根據(jù)幾何概型計算公式求出對應面積比即可；
（3）由題意得出X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列與數(shù)學期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值為
${K^2}=\frac{{50×{{（22×12-8×8）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$，
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)；
（2）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，
則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}5≤x≤7\\ 6≤y≤8\end{array}\right.$（如圖所示）；
設事件A為“乙比甲先做完此道題”，則滿足的區(qū)域為x＞y，
∴由幾何概型計算$P（A）=\frac{{\frac{1}{2}×1×1}}{2×2}=\frac{1}{8}$，
即乙比甲先解答完的概率為$\frac{1}{8}$；
（3）由題可知，從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，
抽取方法有$C_8^2=28$種，
其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有$C_6^2=15$種；
恰有一人被抽到有$C_2^1•C_6^1=12$種；
兩人都被抽到有$C_2^2=1$種；
∴X可能取值為$0，1，2，P（X=0）=\frac{15}{28}$，
$P（X=1）=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，$P（X=2）=\frac{1}{28}$；
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴X的數(shù)學期望為$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與幾何概型的應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與與數(shù)學期望的計算問題，是綜合題．