Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x⁴+4x³-ax²+1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增．
（1）求a的值；
（2）記g（x）=1-bx²，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3個元素，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=-4x³+12x²-2ax，而根據(jù)題意知x=1為f（x）的極值點，從而有f′（1）=0，這樣即可求出a=4；
（2）由方程f（x）=g（x）可整理得到x²（x²-4x+4-b）=0，從而由題意得到一元二次方程x²-4x+4-b=0有兩個不等的非零實根，從而有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{4-b≠0}\end{array}\right.$，解該不等式組便可得出b的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-4x³+12x²-2ax；
∵函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴x=1是f（x）的極值點；
f′（1）=0，即-4•1³+12•1²-2a•1=0；
解得a=4；
（2）由f（x）=g（x）整理可得x²（x²-4x+4-b）=0；
由題意知此方程有三個不相等的實數(shù)根，又x=0為方程的一實數(shù)根；
則方程x²-4x+4-b=0應(yīng)有兩個不相等的非零實根；
∴△＞0，且4-b≠0，即（-4）²-4（4-b）＞0且b≠4；
解得b＞0且b≠4；
∴b的取值范圍是（0，4）∪（4，+∞）．

點評 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)極值的概念，根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及一元二次方程實根個數(shù)和判別式△取值的關(guān)系．