Question

4．如圖，在邊長為5+$\sqrt{2}$的正方形紙片中剪下如圖所示的扇形和圓，使它恰好成同一圓錐的側(cè)面和底面，求此圓錐的體積．

Answer 1

分析 設(shè)小圓半徑為r，可求得小圓的周長，利用扇形的弧長公式可得大扇形的半徑，根據(jù)大扇形的半徑+小扇形的半徑+小扇形半徑的$\sqrt{2}$倍=正方形對角線長，能求出小扇形的半徑，從而能求出圓錐的底面半徑，由此能求出此圓錐的體積．

解答 解：如圖，在邊長為5+$\sqrt{2}$的正方形紙片中，
AC=$\sqrt{（5+\sqrt{2}）^{2}+（5+\sqrt{2}）^{2}}$=2+5$\sqrt{2}$，
設(shè)小圓半徑為r，則小圓周長為2πr，
∵在邊長為5+$\sqrt{2}$的正方形紙片中剪下扇形和圓，
∴△OCD是等腰直角三角形，則OC=$\sqrt{2}r$，
設(shè)大圓半徑為x，則$\frac{90π×x}{180}$=2πr，解得x=4r，
∴4r+r+$\sqrt{2}r$=$\sqrt{（5+\sqrt{2}）^{2}+（5+\sqrt{2}）^{2}}$，
解得r=$\sqrt{2}$，x=4$\sqrt{2}$，
∴圓錐的高h=$\sqrt{30}$，
∴圓錐體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{2π\(zhòng)sqrt{30}}{3}$．

點評 本題考查圓錐體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，根據(jù)正方形對角線長得到關(guān)系式：大扇形的半徑+小扇形的半徑+小扇形半徑的$\sqrt{2}$倍=正方形對角線長是解決本題的關(guān)鍵．