Question

9．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E、F分別為側(cè)棱BB₁、CC₁的中點(diǎn)，求四棱錐B-A₁EFD₁的體積．

Answer 1

分析 作BM⊥A₁E，交A₁E延長線于M，由已知條件求出四棱錐B-A₁EFD₁的高BM=1×cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出四棱錐B-A₁EFD₁的體積．

解答 解：作BM⊥A₁E，交A₁E延長線于M，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E、F分別為側(cè)棱BB₁、CC₁的中點(diǎn)，
∴A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，
∵BM?平面ABB₁A₁，
∴BM⊥A₁D₁，∵A₁D₁∩A₁E=A，∴BM⊥平面A₁EFD₁，
∵A₁B₁=B₁E=BE=1，∴∠BEM=∠A₁EB₁=45°，∠BMC=90°，
∴四棱錐B-A₁EFD₁的高BM=1×cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{矩形{A}_{1}EF{D}_{1}}$=A₁E×A₁D₁=$\sqrt{1+1}$×1=$\sqrt{2}$，
∴四棱錐B-A₁EFD₁的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{矩形{A}_{1}EF{D}_{1}}×BM$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．