Question

19．設(shè)a＞b＞0，當(dāng)a²+$\frac{4}{b（a-b）}$取得最小值時，函數(shù)f（x）=$\frac{a}{si{n}^{2}x}$+bsin²x的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 5
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等求出a，b的值，再利用換元法，求出f（t）的最小值即可．

解答 解：a²+$\frac{4}{b（a-b）}$=a²+b²-ab+b（a-b）+$\frac{4}{b（a-b）}$≥2ab-ab+2$\sqrt{b（a-b）•\frac{4}{b（a-b）}}$=ab+4，
∴f（x）=$\frac{a}{si{n}^{2}x}$+bsin²x≥2$\sqrt{ab}$，
∵b（a-b）≤$\frac{（b+a-b）^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時取等號，
∴a²+$\frac{4}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{16}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{16}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)a²=4時，即a=2時取等號，此時b=1，
∴f（x）=$\frac{a}{si{n}^{2}x}$+bsin²x=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+sin²x，
設(shè)sin²x=t，則t∈（0，1]，
∴y=$\frac{2}{t}$+t，
∴y=$\frac{2}{t}$+t在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴y_min=$\frac{2}{1}$+1=3，
故選：A．

點評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，屬于中檔題．