Question

2．求函數y=x²+|x-a|+1的值域．

Answer 1

分析 去絕對值號，原函數變成y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1}&{x≥a}\\{{x}^{2}-x+a+1}&{x＜a}\end{array}\right.$，這兩段函數都是二次函數，對稱軸分別為x=$-\frac{1}{2}$，$x=\frac{1}{2}$，這樣便要對a討論：分成a$≤-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$，和$a≥\frac{1}{2}$三種情況，在每種情況里，又要分x≥a和x＜a，然后可根據二次函數的單調性及取得頂點情況求出原函數的值域．

解答 解：$y={x}^{2}+|x-a|+1=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1}&{x≥a}\\{{x}^{2}-x+a+1}&{x＜a}\end{array}\right.$，設y=f（x）；
（1）a$≤-\frac{1}{2}$時，①若x≥a，f（x）=x²+x-a+1，對稱軸為x=$-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）≥f（-\frac{1}{2}）=\frac{-4a+3}{4}$；
②若x＜a，f（x）=x²-x+a+1，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$；
∴f（x）在（-∞，a）上單調遞減；
∴f（x）＞f（a）=a²+1；
${a}^{2}+1-\frac{-4a+3}{4}=（a+\frac{1}{2}）^{2}≥0$；
∴${a}^{2}+1≥\frac{-4a+3}{4}$；
∴原函數的值域為[$\frac{-4a+3}{4}$，+∞）；
（2）$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$時，①若x≥a，f（x）在[a，+∞）上單調遞增；
∴f（x）≥f（a）=a²+1；
②若x＜a，f（x）在（-∞，a）上單調遞減；
∴f（x）＞f（a）=a²+1；
∴f（x）的值域為[a²+1，+∞）；
（3）a$≥\frac{1}{2}$時，①若x≥a，f（x）在[a，+∞）上單調遞減；
∴f（x）≥f（a）=a²+1；
②若x＜a，則：f（x）$≥f（\frac{1}{2}）=a+\frac{3}{4}$；
${a}^{2}+1-（a+\frac{3}{4}）=（a-\frac{1}{2}）^{2}≥0$；
∴f（x）的值域為$[a+\frac{3}{4}，+∞）$．

點評 考查函數值域的概念，分類討論的思想，以及含絕對值函數的處理方法：去絕對值號，根據二次函數的單調性及取得頂點情況求函數的值域．