Question

已知{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，S_n表示{a_n}的前n項和．
（1）求a_n及S_n；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求證：當(dāng)n∈N₊都有T_n＞

n

n+1

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式得答案；
（2）把S_n取倒數(shù)，求和后放大，再利用裂項相消法求和，則結(jié)論得到證明．

解答： 解：（1）∵{a_n}是首項a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
故Sn=1+3+…+(2n-1)=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2；
（2）由（1）得，Tn=

1

12

+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＞

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．