Question

已知在△ABC中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（2，0），點(diǎn)C在x軸上方．
（1）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圓的方程；
（2）若在給定直線y=x+8上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向（1）中的圓引一條切線，切點(diǎn)為Q．問是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，恒有PM=PQ？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）由題弦AB所對圓周角為45°，則其所對的圓心角為90°，則可得半徑r，再由圓心在AB的中垂線即y軸上，得圓心，即可得到圓的方程；
（2）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)M，恒有PM=PQ．設(shè)M（a，b），P（x₀，y₀），y₀=x₀+8，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，注意運(yùn)用恒等式，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題弦AB所對圓周角為45°，則其所對的圓心角為90°，
所以半徑r=

2

2

AB=2

2

，
又圓心在AB的中垂線即y軸上，得圓心為（0，2），
所以圓的方程為x²+（y-2）²=8；
（2）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)M，恒有PM=PQ．
設(shè)M（a，b），P（x₀，y₀），y₀=x₀+8，
由PM=PQ，得(x0-a)2+(y0-b)2=x02+(y0-2)2-8，
所以y0(-2a-2b+4)+(a2+b2+4+16a)2=0，
則有

a+b-2=0 a2+b2+16a+4=0

，⇒

a= 5 -3 b=5- 5

，

a=- 5 -3 b=5+ 5

，
所以存在，且定點(diǎn)M(

5

-3，5-

5

)或M(-

5

-3，5+

5

)．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查定點(diǎn)問題，注意恒等式的運(yùn)用，屬于中檔題．