Question

14．函數(shù)f（x）=a^x-x³（a＞0且a≠1）在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（1，e${\;}^{\frac{3}{e}}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得a^x=x³，由圖象可知當(dāng)0＜a＜1時(shí)不符合題意，當(dāng)a＞1時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)得lna=$\frac{3lnx}{x}$，判斷g（x）=$\frac{3lnx}{x}$的單調(diào)性，作出g（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)g（x）的圖象得出lna的范圍，即可解出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得a^x=x³，
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，作出y=a^x與y=x³的函數(shù)圖象如圖：

由圖象可知函數(shù)y=a^x與y=x³的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，由a^x=x³得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{3-3lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單減．
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，g（e）=$\frac{3}{e}$，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g（x）＞0．
作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴方程lna=g（x）有兩解，
∴0＜lna＜$\frac{3}{e}$，即1＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$．
故答案為（1，e${\;}^{\frac{3}{e}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，構(gòu)造g（x）=$\frac{3lnx}{x}$是解題的難點(diǎn)，屬于難題．