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【題目】已知函數．

（1）求證：函數在內單調遞增；

（2）記為函數的反函數．若關于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對于恒成立，求的取值范圍．

【答案】（1）證明見解析；（2）[log2，log2]；（3）（log2，+∞）

【解析】

（1）用單調性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位；

（2）先求得反函數，構造函數，利用復合函數的單調性求得函數的值域；

（3）原不等式轉化為，，恒成立，解得即可．

解：（1）任取，則，

，，

，

，

即函數在內單調遞增

（2），

當時，，

的取值范圍是．

（3）對于，恒成立，

，

在定義域上單調遞增

，上恒成立

即在上恒成立

令，

在定義域上單調遞增，且在上也單調遞增，由復合函數的單調性可知在上單調遞增，

解得．

故的取值范圍為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】自由購是一種通過自助結算購物的形式．某大型超市為調查顧客自由購的使用情況，隨機抽取了100人，調查結果整理如下：

20以下

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70]

70以上

使用人數

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數

0

0

3

14

36

3

0

（1）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購的概率；

（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購顧客中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；

（3）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】四棱錐S-ABCD的底面為正方形，，AC與BD交于E，M，N分別為SD，SA的中點，.

（1）求證：平面平面SBD；

（2）求直線BD與平面CMN所成角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0．5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數量維持在這一年的水平不變．

（1）記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數量構成數列，每年發(fā)放電動型汽車牌照數為構成數列，完成下列表格，并寫出這兩個數列的通項公式；

（2）從2013年算起，累計各年發(fā)放的牌照數，哪一年開始超過200萬張？








．



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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當成等比數列時，稱曲線為“貓眼曲線”.

（1）若貓眼曲線過點，且的公比為，求貓眼曲線的方程；

（2）對于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為M，交橢圓所得弦的中點為N，求證：為與無關的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，為橢圓上的任意一點（點與點不重合），求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知中，，平面，是的中點.

（Ⅰ）若是的中點，求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設單調函數的定義域為，值域為，如果單調函數使得函數的值域也是，則稱函數是函數的一個“保值域函數”．已知定義域為的函數，函數與互為反函數，且是的一個“保值域函數”，是的一個“保值域函數”，則__________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數，且（其中e是自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若，求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在2019年女排世界杯中，中國女子排球隊以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠，為祖國母親七十華誕獻上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方2分為勝.在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權，否則交換發(fā)球權，并且對方得1分.現(xiàn)有甲乙兩隊進行排球比賽：

（1）若前三局比賽中甲已經贏兩局，乙贏一局.接下來兩隊贏得每局比賽的概率均為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；

（2）若前四局比賽中甲、乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發(fā)球權.若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為，得分者獲得下一個球的發(fā)球權.設兩隊打了個球后甲贏得整場比賽，求x的取值及相應的概率p（x）.

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