Question

【題目】設(shè)函數(shù)，且（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，對(duì)求導(dǎo)分析出其單調(diào)性，從而分析出函數(shù)值的符號(hào)，得到的單調(diào)區(qū)間.
（Ⅱ）對(duì)求導(dǎo)討論其單調(diào)性，分析其最小值，證明其最小值大于0即可.

（Ⅰ）由可得，，又，∴，，，

令，，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)增函數(shù)，又.

∴當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，符合題意.

方法（一）當(dāng)時(shí)，

令，又，

∴在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，有

且，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增

∴∵，∴，兩邊取對(duì)數(shù)，

∴

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)到等號(hào)）

設(shè)，∴，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

又，且，，趨向0時(shí)，；

∴當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，，∴

綜上，當(dāng)時(shí)，

方法（二）

當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)

，，顯然成立；

（ii）當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)

，在為減函數(shù)，∴，∴

∴，∴

∴

又由，可得，進(jìn)而

綜上：當(dāng)時(shí)，