Question

【題目】設(shè)函數(shù)，且（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時，令，對求導(dǎo)分析出其單調(diào)性，從而分析出函數(shù)值的符號，得到的單調(diào)區(qū)間.
（Ⅱ）對求導(dǎo)討論其單調(diào)性，分析其最小值，證明其最小值大于0即可.

（Ⅰ）由可得，，又，∴，，，

令，，

當(dāng)時，，在單調(diào)增函數(shù)，又.

∴當(dāng)時，，，當(dāng)時，；，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為

（Ⅱ）當(dāng)時，，符合題意.

方法（一）當(dāng)時，

令，又，

∴在唯一的零點，設(shè)為，有

且，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增

∴∵，∴，兩邊取對數(shù)，

∴

（當(dāng)且僅當(dāng)時到等號）

設(shè)，∴，

當(dāng)時，，當(dāng)時，；

又，且，，趨向0時，；

∴當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

由（1）可知，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，，∴

綜上，當(dāng)時，

方法（二）

當(dāng)時，（i）當(dāng)時

，，顯然成立；

（ii）當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)

，在為減函數(shù)，∴，∴

∴，∴

∴

又由，可得，進(jìn)而

綜上：當(dāng)時，