Question

【題目】（本小題滿分10分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．

（1）若異面直線與所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)度;

（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（１）或． （２）

【解析】

試題分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量數(shù)量積可求兩向量夾角：，解得或，因此或．

（2）求二面角，關(guān)鍵求出平面的法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)，可得，同理設(shè)平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)可得，因此二面角滿足：∴．

試題解析：（1）以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意，知,，

，，.設(shè)，

∴，.

設(shè)異面直線與所成角為，

則，

化簡(jiǎn)得：,解得：或，

或． 5分

（2）∵，∴，

,，,，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，∴，即，取，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，∴，即，取，，

設(shè)平面與平面所成角為，

∴，

∴． １０分