Question

16．設(shè)有窮數(shù)列a₀，a₁，a₂，…，a_m的各項均為整數(shù)，若對每一個k∈{1，2，3，…，m}，均有|a_k-a_k-1|=k²，則稱數(shù)列{a_n}為“m階優(yōu)數(shù)列”．
（1）判斷數(shù)列1，2，-2，7，-9與數(shù)列1，2，6，10，14是否是“4階優(yōu)數(shù)列”，并求以1為首項的所有“4階優(yōu)數(shù)列”的個數(shù)；
（2）請寫出一個首項和末項都是2015的“8階優(yōu)數(shù)列”；
（3）對任意兩個整數(shù)s，t，是否存在一個“r階優(yōu)數(shù)列”，其首項為s且末項為t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的定義，判斷數(shù)列1，2，-2，7，-9是“4階優(yōu)數(shù)列”，數(shù)列1，2，6，10，14不是“4階優(yōu)數(shù)列”；
再求出以1為首項的所有“4階優(yōu)數(shù)列”的個數(shù)；
（2）根據(jù)新定義，寫出滿足條件的一個“8階優(yōu)數(shù)列”；
（3）根據(jù)新定義，說明對任意兩個整數(shù)s，t，都存在以s為首項，t為末項的“r階優(yōu)數(shù)列”．

解答 解：（1）因為|2-1|=1²，|-2-2|=2²，|7-（-2）|=3²，|-9-7|=4²，
所以，數(shù)列：1，2，-2，7，-9是“4階優(yōu)數(shù)列”；
因為10-6≠3²，所以，數(shù)列1，2，6，10，14不是“4階優(yōu)數(shù)列”；
對a₀=1，滿足條件的a₁都有兩種取法，對每一個a₁，滿足條件的a₂都有兩種取法，
對每一個a₂，滿足條件的a₃都有兩種取法，對每一個a₃，滿足條件的a₄都有兩種取法，
所以，以1為首項的所有“4階優(yōu)數(shù)列”的個數(shù)為16；
（2）因為|a_k-a_k-1|=k²，所以a_k-a_k-1=±k²，k∈{1，2，3，…，m}；
所以a₈-a₀=（a₁-a₀）+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a₈-a₇）=±1²±2²±3²±…±7²±8²
取2015-2015=1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²
即a₁-a₀=1，a₂-a₁=-4，a₃-a₂=-9，a₄-a₃=16，a₅-a₄=-25，a₆-a₅=36，a₇-a₆=49，a₈-a₇=-64，
所以a₀=2015，a₁=2016，a₂=2012，a₃=2003，a₄=2019，a₅=1994，a₆=2030，a₇=2079，a₇=2015；
或取2015-2015=-1²+2²+3²-4²+5²-6²-7²+8²
即a₁-a₀=-1，a₂-a₁=4，a₃-a₂=9，a₄-a₃=-16，a₅-a₄=25，a₆-a₅=-36，a₇-a₆=-49，a₈-a₇=64，
所以a₀=2015，a₁=2014，a₂=2018a₃=2027，a₄=2011，a₅=2036，a₆=2000，a₇=1951，a₈=2015；
（3）因為|a_k-a_k-1|=k²，所以a_k-a_k-1=±k²，k∈{1，2，3，…，m}；
a_m-a₀=（a₁-a₀）+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_m-a_m-1）=±1²±2²±3²±…±（m-1）²±m(xù)²
因為n²-（n+1）²-（n+2）²+（n+3）²=4，-n²+（n+1）²+（n+2）²-（n+3）²=-4，
所以，當(dāng)t-s=4p（p∈Z）時，取r=|t-s|+8，使前8項和取1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²=4-4=0，后面的|t-s|項的和為4p，存在“r階優(yōu)數(shù)列”；
當(dāng)t-s=4p+1（p∈Z），即t-s-1=4p（p∈Z）時，取r=1+|t-s-1|，第一項取1²，使后面的|t-s-1|項的和為4p，存在“r階優(yōu)數(shù)列”；
當(dāng)t-s=4p+2（p∈Z），即t-s-2=4p（p∈Z）時，取r=4+|t-s-2|，使前4項和取-1²-2²-3²+4²=2，使后面的|t-s-2|項的和為4p，存在“r階優(yōu)數(shù)列”；
當(dāng)t-s=4p+3（p∈Z），即t-s+1=4（p+1）（p∈Z）時，取r=1+|t-s+1|，第一項取-1²，使后面的|t-s+1|項的和為4（p+1），存在“r階優(yōu)數(shù)列”；
綜上，對任意兩個整數(shù)s，t，都存在以s為首項，t為末項的“r階優(yōu)數(shù)列”．

點評 本題考查了新定義的數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用問題，也考查了分析問題與解答問題的能力，是較難的題目．